![\"Polya_4\"](\"http:\/\/www.paulwesterbeek.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/11\/Polya_4.jpeg\")
<\/a>In de inleiding bij de eerste druk van How to Solve It <\/i>vertelt P\u00f3lya hoe hij als student luisterde naar lezingen, boeken las, oplossingen bestudeerde, maar daarbij door \u00e9\u00e9n vraag steeds opnieuw gekweld werd: hoe is het mogelijk z\u00e9lf zo\u2019n oplossing te vinden?\nHoe kan iemand zoiets z\u00e9lf ontdekken? En hoe kan ik <\/i>zulke zaken ontdekken of uitvinden?<\/p>\n
Hij hoopte dat How to Solve It<\/i> de vaardigheid van studenten om problemen op te lossen zou vergroten. Niet alleen wiskundige problemen, maar ook problemen in algemene zin. Veel van zijn voorbeelden komen echter uit de wiskunde, vooral uit de meetkunde.<\/p>\nWat is een probleem?<\/h2>\n
Een probleem is de kloof tussen een gegeven beginsituatie en een gewenste situatie. De probleemaanpakker zal handelingen moeten verrichten om van de beginsituatie in de eindsituatie te komen. Het probleem is dat de probleemaanpakker niet onmiddellijk weet welke handelingen verricht moeten worden om de gewenste situatie \u2013 het doel, de oplossing \u2013 te bereiken.<\/p>\n
Daarbij kunnen zowel de beginsituatie als de eindsituatie onduidelijk zijn. De probleeminformatie en het doel zijn dan slecht of onvoldoende gedefinieerd. Dit is vaak het geval bij praktische problemen.<\/p>\n
Problemen zin er in allerlei soorten en typen. Ze kunnen in klassen worden ingedeeld op grond van allerlei criteria, bijvoorbeeld open versus gesloten, onvolledig gedefinieerd versus volledig gedefinieerd, praktisch versus theoretisch, informeel versus formeel etc.<\/p>\n
Probleemaanpak<\/h2>\n
Probleemoplossen kunnen we omschrijven als het werken aan de oplossing van een probleem waarbij zoeken<\/i> naar een oplossing centraal staat. De kloof tussen de beginsituatie en de gewenste eindsituatie moet worden overbrugd. Er wordt een weg naar het doel \u2013 de oplossing van het probleem – gezocht. Dat zoeken kan bestaan uit een blinde exploratie van mogelijkheden die systematisch (d.w.z. uitputtend, alle mogelijkheden onderzoeken) kan zijn of onsystematisch (trial-and-error, lukraak mogelijkheden proberen). Deze laatste vorm van probleemoplossen staat wat cognitief niveau betreft op dat van een rat in een doolhof.<\/p>\n
Er is dus een probleemaanpakker, er is probleeminformatie, er is een doel. Er moeten handelingen worden verricht om het doel te bereiken. Daarbij kunnen zowel probleeminformatie als doel onvolledig of slecht gedefinieerd zijn. De handelingen die verricht moeten worden laten – wil er echt van een probleem sprake zijn – bovendien geen algoritmische procedure toe.<\/p>\n
De probleemaanpakker moet nu toch een aanpak zien te bedenken. Een methodische probleemaanpak is een algemene methode om een aanpak voor concrete problemen te genereren.<\/p>\n
Polya\u2019s aanpak<\/h2>\n
P\u00f3lya maakt onderscheidt tussen twee soorten problemen: problems to find<\/i> (\u2018vindproblemen\u2019)en problems to prove<\/i> (\u2018bewijsproblemen\u2019). Een problem to find<\/i> is een probleem waarbij een onbekende gevonden moet worden, bijvoorbeeld de oplossing van een vergelijking. Een ander voorbeeld, waarbij een object gevonden moet worden: teken (construeer) een driehoek waarbij de lengten van de drie zijden 3, 5 en 7 zijn. Een bewijsprobleem is een probleem waarbij een stelling of bewering bewezen moet worden: bewijs dat de bissectrices van de hoeken in een driehoek door \u00e9\u00e9n punt gaan.<\/p>\n
P\u00f3lya onderscheidt vier basisstappen in de aanpak.<\/p>\n
- \n
- Het probleem begrijpen<\/li>\n
- Een plan ontwerpen<\/li>\n
- Plan uitvoeren<\/li>\n
- Terugkijken<\/li>\n<\/ul>\n
Hij komt met het volgende lijstje voor de aanpak van een probleem. Deze aanpak, in de vorm van een uitgewerkte lijst, is te vinden aan het begin van het boek.<\/p>\n
1.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Het probleem begrijpen<\/strong><\/p>\n
- \n
- Wat is de onbekende?<\/li>\n
- Wat zijn de gegevens?<\/li>\n
- Wat is de voorwaarde?<\/li>\n
- Maak een plaatje<\/li>\n
- Kies nuttige notaties<\/li>\n
- Scheid de verschillende delen van de voorwaarde<\/li>\n<\/ul>\n
2.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Een plan ontwerpen<\/strong><\/p>\n
- \n
- Ken je een verwant probleem?<\/li>\n
- Kijk naar de onbekende!<\/li>\n
- Hier is een verwant opgelost probleem \u2013 Kun je het gebruiken?<\/li>\n
- Zoek de relatie tussen de gegevens en de onbekende<\/li>\n<\/ul>\n
3.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Plan uitvoeren<\/strong><\/p>\n
- \n
- Controleer elke stap<\/li>\n<\/ul>\n
4.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Terugkijken<\/strong><\/p>\n
- \n
- Kun je het resultaat controleren?<\/li>\n
- Kun je het resultaat anders afleiden?<\/li>\n
- Kun je de het resultaat of de methode elders gebruiken?<\/li>\n<\/ul>\n
Bij problems to prove<\/i> voegt P\u00f3lya nog diverse vragen en suggesties toe:<\/p>\n
- \n
- Wat is de hypothese? Wat is de conclusie?<\/li>\n
- Scheid de verschillende delen van de hypothese<\/li>\n
- Vind de verbinding tussen hypothese en conclusie<\/li>\n
- Kijk naar de conclusie! En probeer een vergelijkbaar probleem te vinden met dezelfde of vergelijkbare oplossing<\/li>\n
- Houd \u00e9\u00e9n deel van de hypothese vast, laat het andere deel vallen; geldt de conclusie nog?<\/li>\n
- Kun je iets nuttigs uit de hypothese afleiden?<\/li>\n
- Kun je een andere hypothese bedenken waaruit je de conclusie gemakkelijk zou kunnen afleiden?<\/li>\n
- Kun je de hypothese en\/of de conclusie veranderen zo dat de nieuwe hypothese en\/of conclusie dichter bij elkaar liggen?<\/li>\n
- Heb je de hele hypothese gebruikt?<\/li>\n<\/ul>\n
Voorbeeld<\/h2>\n
Het vinden van bewijzen in de Voortgezette meetkunde, zoals die op het VWO in het wiskunde-B-programma is opgenomen, blijkt een structureel probleem. Soms schijnt de kloof tussen stelling en bewijs een gapende afgrond. En routebeschrijvingen ontbreken.<\/p>\n
We kunnen Polya\u2019s aanpak uitproberen op zo\u2019n probleem:<\/p>\n
![\"B6](\"http:\/\/www.paulwesterbeek.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/11\/B6-h21-opg-58-300x233.jpg\")
<\/a>Gegeven zijn twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in A en B. De lijn l gaat door A en snijdt de cirkels in P en Q.<\/i><\/p>\nBewijs dat de driehoek BPQ gelijkbenig is.<\/i><\/p>\n
Eenvoudig is dit probleem niet direct. Het vereist bovendien iets meer voorkennis dan de voorbeelden van P\u00f3lya. Het bewijs dat een schoolmethode (Getal & Ruimte) geeft komt volstrekt uit de lucht vallen; ook in andere opzichten is het niet bevredigend.<\/p>\n
In de praktijk slagen leerlingen er zelden in dit type problemen zonder hulp op te lossen. Hoe dit aan te pakken?<\/p>\n
Lees hier<\/a> verder.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
- Controleer elke stap<\/li>\n<\/ul>\n